Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数y=x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y=-3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点．
（1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；
（2）若四边形PQOB的面积是，且CQ：AO=1：2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）在直线y=x+m中，令y=0，得x=-m．
∴点A（-m，0）．
在直线y=-3x+n中，令y=0，得．
∴点B（，0）．
由，
得，
∴点P（，）．
在直线y=x+m中，令x=0，得y=m，
∴|-m|=|m|，即有AO=QO．
又∠AOQ=90°，
∴△AOQ是等腰直角三角形，
∴∠PAB=45度．

（2）∵CQ：AO=1：2，
∴（n-m）：m=1：2，
整理得3m=2n，
∴n=m，
∴==m，
而S_{四边形PQOB}=S_△PAB-S_△AOQ=（+m）×（m）-×m×m=m²=，
解得m=±4，
∵m＞0，
∴m=4，
∴n=m=6，
∴P（）．
∴PA的函数表达式为y=x+4，
PB的函数表达式为y=-3x+6．

（3）存在．
过点P作直线PM平行于x轴，过点B作AP的平行线交PM于点D₁，过点A作BP的平行线交PM于点D₂，过点A、B分别作BP、AP的平行线交于点D₃．
①∵PD₁∥AB且BD₁∥AP，
∴PABD₁是平行四边形．此时PD₁=AB，易得；
②∵PD₂∥AB且AD₂∥BP，
∴PBAD₂是平行四边形．此时PD₂=AB，易得；
③∵BD₃∥AP且AD₃∥BP，此时BPAD₃是平行四边形．
∵BD₃∥AP且B（2，O），
∴y_BD3=x-2．同理可得y_AD3=-3x-12
，
得，
∴．
分析：（1）已知直线解析式，令y=0，求出x的值，可求出点A，B的坐标．联立方程组求出点P的坐标．推出AO=QO，可得出∠PAB=45°．
（2）先根据CQ：AO=1：2得到m、n的关系，然后求出S_△AOQ，S_△PAB并都用字母m表示，根据S_{四边形PQOB}=S_△PAB-S_△AOQ积列式求解即可求出m的值，从而也可求出n的值，继而可推出点P的坐标以及直线PA与PB的函数表达式．
（3）本题要依靠辅助线的帮助．求证相关图形为平行四边形，继而求出D1，D2，D3的坐标．
点评：本题的综合性强，主要考查的知识点为一次函数的应用，平行四边形的判定以及面积的灵活计算．难度较大．