Question

正方形ABCD中，点F为正方形ABCD内的点，△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合．
（1）如图1，若正方形ABCD的边长为2，BE=1，FC=，求证：AE∥BF；
（2）如图2，若点F为正方形ABCD对角线AC上的点，且AF：FC=3：1，BC=2，求BF的长．

Answer 1

解：（1）证明：∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合
∴BE=BF=1，∠EBF=∠ABC=90°，∠AEB=∠BFC
在△BFC中，
∵，
BC²=2²=4
∴BF²+FC²=BC²
∴∠BFC=90°…
∴∠AEB+∠EBF=180°
∴AE∥BF…
（2）解：∵Rt△ABC中，AB=BC=2，由勾股定理，得
AC==2．
∵AF：FC=3：1，
∴AF=AC=，FC=AC=
∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合
∴∠EAB=∠FCB，BE=BF，，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABC=90°
∴∠BAC+∠ACB=90°
∴∠EAB+∠BAC=90°
即∠EAF=90°
在Rt△EAF中，，
在Rt△EBF中，EF²=BE²+BF²
∵BE=BF
∴．
分析：（1）由条件可以得出△BFE是直角三角形，就有∠BFC=90°，由旋转可得∠EBF=∠AEB=90°，就有∴∠AEB+∠EBF=180°，从而得出结论．
（2）在正方形中根据勾股定理可以求出AC，由AF：FC=3：1可以求出AF、CF的长．由旋转可以求出AE=CF，BE=BF，∠BEF=90°，△AEF是直角三角形，从而求出EF的长．进而由勾股定理可以求出BF的值．
点评：本题考查了正方形的性质，勾股定理、勾股定理的逆定理的运用，旋转的性质，平行线的判定，在解答的过程中要注意旋转过程中的不变量的运用．