Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE。
（1）四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论；
（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？

Answer 1

解：（1）四边形ACEF是平行四边形； ∵DE垂直平分BC， ∴D为BC的中点，ED?BC， 又∵AC⊥BC， ∴ED∥AC， ∴E为AB中点， ∴ED是△ABC的中位线 ∴BE=AE，FD∥AC ∴BE：AE=BD：CD， ∴BD=CD， ∴Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线， ∴CE=AE=AF ∴∠F=∠5=∠1=∠2 ∴∠FAE=∠AEC ∴AF∥EC 又∵AF=EC， ∴四边形ACEF是平行四边形； （2）当∠B=30°时，四边形ACEF为菱形； 证明：要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC=CE即可， ∴当∠B=30°时，AC=AB， ∵CE=AB，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴当∠B=30°时，AB=2AC， 故∠B=30°时，四边形ACEF为菱形； （3）四边形ACEF不可能是正方形， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACE＜∠ACB， 即∠ACE＜90°，不能为直角， 所以四边形ACEF不可能是正方形。