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    （2012•温州三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，BC=3，AC=4，D是AC的中点，P是AB上一动点，连接DP并延长至点E，使EP=DP，过P作PK⊥AC，K为垂足．设AP=m（0≤m≤5）．
    （1）用含m的代数式表示DK的长；
    （2）当AE∥BC时，求m的值；
    （3）四边形AEBC的面积S会随m的变化而变化吗？若不变，求出S的值；若变化，求出S与m的函数关系式；
    （4）作点E关于直线AB的对称点E'，当△DE'K是等腰三角形时，求m的值．（直接写出答案即可）
    分析：（1）在Rt△APK和Rt△ABC中，根据三角函数可得AK=
    4
    5
    m    ，再分0≤m≤2.5和2.5＜m≤5两种情况讨论可得DK的长；
    （2）先证△DPK∽△EDA，再根据相似三角形的性质可得m的值；
    （3）分别过D、E作DG⊥AB，EH⊥AB，G、H为垂足，由AAS可证△DGP≌△EHP，根据全等三角形的性质和三角函数可得EH=DG=
    3
    5
    ×2=
    6
    5
    ，则S四边形AEBC=S△ABC+S△ABE，求得S的值；
    （4）找到E点关于直线AB的对称点E'在DK的垂直平分线上的点，依此得到m的值．
    解答：解：（1）在Rt△APK和Rt△ABC中
    cos∠BAC=
    AC
    AB
    =
    AK
    AP
    =
    4
    5

    ∴AK=
    4
    5
    m    …（1分）
    ∴当0≤m≤2.5时，DK=2-
    4
    5
    m    ；
    当2.5＜m≤5时，DK=
    4
    5
    m    -2；

    （2）∵PK⊥AC，∠C=Rt∠，
    ∴PK∥BC∥AE，
    ∴△DPK∽△EDA，
    ∴
    DP
    DE
    =
    DK
    DA
    ，
    ∵EP=DP，
    ∴
    DK
    DA
    =
    1
    2
    ，即DK=
    1
    2
    AD=1，
    ∴2-
    4
    5
    m    =1，
    解得 m=
    5
    4
    ；

    （3）四边形AEBC的面积S不变，且S=9   
    理由如下：
    分别过D、E作DG⊥AB，EH⊥AB，G、H为垂足
    则∠DGP=∠EHP=Rt∠
    ∵在△DPK与△EDA中，
    ∠DGP=∠EHP
    ∠GPD=∠HPE
    DP=EP
    ，
    ∴△DGP≌△EHP（AAS）
    ∴DG=EH   
    ∵sin∠BAC=
    BC
    AB
    =
    DG
    AD
    =
    3
    5

    ∴EH=DG=
    3
    5
    ×2=
    6
    5
    ，
    ∴S四边形AEBC=S△ABC+S△ABE=
    1
    2
    ×3×4+
    1
    2
    ×5×
    6
    5
    =9；

    （4）当△DE'K是等腰三角形时，m1=0，m2=1，m3=
    13
    10
    ，m4=
    13
    7
    ．
    点评：考查了相似形综合题，涉及的知识有：三角函数，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，对称的性质，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．
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    		14
    		14
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