Question

如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形。
（1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点的坐标；
（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH，设点P的运动时间为t秒。
①若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，求t的值；
②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值，如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由。

Answer 1

解：（1）A（-3，0），B（0，4）， 当y=2时，，， 所以直线AB与CD交点的坐标为（-，2）；

（2）①当0＜t＜时，△MPH与矩形AOCD重合部分的面积即△MPH的面积， 过点M作MN⊥OA，垂足为N， 由△AMN∽△ABO，得 ∴ ∴AN=t， ∴△MPH的面积为， 当3-2t=1时，t=1 当＜t≤3时，设MH与CD相交于点E，△MPH与矩形AOCD重合部分的面积即△PEH的面积， 过点M作MG⊥AO于G，MF⊥HP交HP的延长线于点F， FM=AG-AH=AM×cos∠BAO-（AO-HO）   HF=GM=AM×sin∠BAO=， 由△HPE∽△HFM，得 ∴ ∴ ∴△PEH的面积为 当时，t= 综上所述，若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，t为1或； ②BP+PH+HQ有最小值， 连接PB，CH，则四边形PHCB是平行四边形， ∴BP=CH， ∴BP+PH+HQ=CH+HQ+2， 当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小 ∵点C，Q的坐标分别为（0，2），（-6，-4）， ∴直线CQ的解析式为y=x+2， ∴点H的坐标为（-2，0）， 因此点P的坐标为（-2，2）。