Question

如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线夹角为α，∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线的夹角为β，
（1）若α=110°，则∠A=______．
（2）若∠A=30°，则β=______．
（3）猜想并证明α与β之间的关系．

Answer 1

（1）解：∵α=110°，
∴∠2+∠4=180°-110°=70°，
∵∠ABC，∠ACB的平分线夹角为α，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=2（∠2+∠4）=2×70°=140°，
∴∠A=180°-2（∠2+∠4）=180°-140°=40°．
故答案为：40°．

（2）解：∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-40°=140°，
∴∠DBC+∠ECB=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-140°=220°，
∵ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线的夹角为β，
∴∠6+∠7=（∠DBC+∠ECB）=×220°=110°，
∴β=180°-（∠6+∠7）=180°-110°=70°．
故答案为：70°．

（3）互补．
证明：如图所示：
∵OB，OC分别是∠ABC与∠ACB的平分线，
∴∠1=∠2，3=∠4，
∴α=180°-（∠2+∠4）=180°-（∠ABC+∠ACB）①；
∵BP，CP是△ABC的外角平分线，
∴∠6+∠7=[360°-（∠ABC+∠ACB）]=180°-（∠ABC+∠ACB），
∴β=180°-（∠6+∠7）=180°-180°+（∠ABC+∠ACB）=（∠ABC+∠ACB）②，
①+②得，α+β=180°，
∴α与β互补．
分析：（1）先根据α=110°求出∠2+∠4的度数，再根据角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，故∠1+∠2+∠3+∠4=2（∠2+∠4），由三角形内角和定理即可求出∠A的度数；
（2）先根据∠A=40°求出∠ABC+∠ACB的度数，由平角的定义求出∠DBC+∠ECB的度数，再根据角平分线的定义得出∠6+∠7的度数，根据三角形内角和定理即可求出β的度数；
（3）根据（1）、（2）的结论猜想出α与β关系，再证明即可．
点评：本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的性质，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．