Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E．

(1)求证：∠ABD＝∠CBD；

(2)若∠C＝2∠E，求证：AB＝DC；

(3)在(2)的条件下，sinC＝，AD＝，求四边形AEBD的面积．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)由两直线AD∥BC，推知内错角∠ADB＝∠CBD；在△BAD中，根据等边AB＝AD，推知等角∠ADB＝∠ABD；所以由等量代换证得∠ABD＝∠CBD； 　　(2)由两直线AE∥DB，推知同位角∠E＝∠CBD；利用(1)的结果、等量代换求得∠ABC＝2∠CBD＝2∠E；根据已知条件知∠ABC＝∠C，最后根据等腰梯形的性质知AB＝DC； 　　(3)过D作DF⊥BC，垂足为F，构造四边形AEBD的高．在直角三角形CDF中，利用角的三角函数值的意义求得＝；利用(2)的结论以及勾股定理求得CD＝，DF＝；最后根据平行四边形的判定定理知四边形AEBD的平行四边形，再由平行四边形的面积公式：S＝底×高，求得S四边形AEBD＝AD·DF＝． 　　解答：解：(1)∵AD∥BC 　　∴∠ADB＝∠CBD 　　∵AB＝AD 　　∴∠ADB＝∠ABD 　　∴∠ABD＝∠CBD； 　　(2)∵AE∥DB 　　∴∠E＝∠CBD 　　由(1)得∠ABD＝∠CBD 　　∴∠ABC＝2∠CBD＝2∠E 　　又∵∠C＝2∠E 　　∴∠ABC＝∠C 　　∴在梯形ABCD中，AB＝DC； 　　(3)过D作DF⊥BC，垂足为F，由sinC＝，得＝ 　　由(2)得CD＝AB，又AB＝AD＝， 　　∴CD＝，DF＝ 　　∵AD∥BC，AE∥DB 　　∴四边形AEBD的平行四边形 　　∴S四边形AEBD＝AD·DF＝×＝． 　　点评：本题考查了梯形、解直角三角形．解答该题时，充分利用了平行线的性质：两直线平行，内错角(同位角)相等．

提示：

梯形；解直角三角形．