Question

已知，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E．
（1）如图1，求证△ABF∽△COE；
（2）如图2，点O是AC边的中点，AB=1，AC=2．①求证BF=OE；②求OE的长．

Answer 1

解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠C，
∵OE⊥OB，
∴BOA+∠COE=90°，
∴∠BOA+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠COE，
∴△ABF∽△COE；
（2）①∵O是AC边的中点，AC=2，
∴AO=OC=1，
∵AB=1，
∴AB=OC，
由（1）知△ABF∽△COE，
∴△ABF≌△COE，
∴BF=OE
②在直角△ABC中，BC===，
由S△ABC=AB×AC=AD×BC得，2=AD，
∴AD=，
在直角△ABD中，BD===，
在直角△ABO中，BO===，
∵∠BDF=∠BOE=90°，∠FBD=∠EBO，
∴△BDF∽△BOE，
∴=，
设OE=BF=x，
∴=，
∴DF=x，
在直角△DFB中，由BF²=BD²+FD²，得，x²=+x²，
∴x=，∴OE的长为．