Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数y=x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y=﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点．
（1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；
（2）若四边形PQOB的面积是，且CQ：AO=1：2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）在直线y=x+m中，令y=0，得x=﹣m．
∴点A（﹣m，0）．
在直线y=﹣3x+n中，令y=0，得．
∴点B（，0）．
由，
得，
∴点P（，）．
在直线y=x+m中，令x=0，得y=m，
∴|﹣m|=|m|，即有AO=QO．
又∠AOQ=90°，
∴△AOQ是等腰直角三角形，
∴∠PAB=45度．
（2）∵CQ：AO=1：2，
∴（n﹣m）：m=1：2，
整理得3m=2n，
∴ n=m，
∴==m，
而S_{四边形PQOB}=S_△PAB﹣S_△AOQ=（+m）×（m）﹣×m×m=m²=，
解得m=4，
∴n=m=6，
∴P（）．
∴PA的函数表达式为y=x+4，
PB的函数表达式为y=﹣3x+6．
（3）存在．
过点P作直线PM平行于x轴，过点B作AP的平行线交PM于点D₁，过点A作BP的平行线交PM于点D₂，过点A、B分别作BP、AP的平行线交于点D₃．
①∵PD₁∥AB且BD₁∥AP，
∴PABD₁是平行四边形．此时PD₁=AB，易得；
②∵PD₂∥AB且AD₂∥BP，
∴PBAD₂是平行四边形．此时PD₂=AB，易得；
③∵BD₃∥AP且AD₃∥BP，此时BPAD₃是平行四边形．
∵BD₃∥AP且B（2，O），
∴yBD₃=x﹣2．同理可得yBD₃=﹣3x﹣12
，
得，
∴．