Question

已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，点P在AC上，且∠MPN=90°．当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，可证Rt△PME∽Rt△PNF，得出PN=

3

PM．（不需证明）当PC=

2

PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选取一给予证明．

Answer 1

分析：图2和图3的结论一致，求解的方法也相同，以图2为例：过P作PE⊥AB于E，作PF⊥BC于F，仿照题干的做法，先证△PEM∽△PFN，得PN：PM=PF：PE；在Rt△ABC中，PF=

3

2

PC，PE=

1

2

PA，联立PC、PA的比例关系，即可得到PF：PE的值，从而求得PN、PM的比例关系．

解答：解：
如图2，如图3中都有结论：PN=

6

PM．（2分）
选如图2：在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F；
∴四边形BFPE是矩形，∴∠EPF=90°，
∵∠EPM+∠MPF=∠FPN+∠MPF=90°，
可知∠EPM=∠FPN，∴△PFN∽△PEM，（2分）
∴

PF

PE

=

PN

PM

；（1分）
又∵Rt△AEP和Rt△PFC中：∠A=30°，∠C=60°，
∴PF=

3

2

PC，PE=

1

2

PA，（1分）
∴

PN

PM

=

PF

PE

=

3 PC

PA

；（1分）
∵PC=

2

PA，∴

PN

PM

=

6

，即：PN=

6

PM．（1分）
若选如图3，其证明过程同上（其他方法如果正确，可参照给分）

点评：此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，由于题干部分已经给出了解题的思路，使得此题的难度有所降低．