Question

如图．已知反比例函数的图象与二次函数y=ax²+x-3的图象相交于点A（4，5）
（1）求a和k的值；
（2）反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点？说明理由．
（3）若二次函数图象与x轴交于B、D两点，与y轴交于点C．问：反比例函数的图象上是否存在一点P，使△PBD的面积等于四边形ABCD面积的2倍？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵反比例函数的图象与二次函数y=ax²+x-3的图象相交于点A（4，5），
∴5=16a+4-3，5=，
解得：a=，k=20；

（2）反比例函数的图象不经过二次函数图象的顶点，
由（1）知，二次函数和反比例函数的关系式分别是：
y=x²+x-3和y=，
∵y=x²+x-3=（x+2）²-4，
∴二次函数的顶点坐标是（-2，-4）
∵x=-2时，y==-10≠-4，
∴反比例函数的图象不经过二次函数图象的顶点；

（3）存在．
令y=0，则有x²+x-3=0，
∴x²+4x-12=0
解得：x₁=-6，x₂=2，
∴D（-6，0），B（2，0）
∵C（0，-3）
∴S_ABCD=S_△ABD+S_△BDC=×8×（3+5）=32，
∵S_△PBD=×8×h，
当4h=2×32时，h=16，
∴当y=±16时，=±16，x=±，
∴反比例函数的图象存在两点P₁（，16），P₂（-，-16）使得△PBD的面积等于四边形ABCD面积的2倍．
分析：（1）把点A（4，5）分别代入二次函数和反比例函数即可求出a和k的值；
（2）利用配方法求出二次函数的顶点坐标，再代入反比例函数验证即可知道反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点；
（3）令y=0，则有x²+x-3=0，求出点D和B的坐标，进而求出四边形ABCD 的面积，设三角形PBD的高为h，有条件求出h的值即可求出点的坐标．
点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，反比例函数的图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．