Question

如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E为BC的中点，F为边CD上的点，CF=1
（1）求证：AE⊥EF；
（2）求点B到直线AF的距离．

Answer 1

（1）证明：如图1，
∵在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，CF=1，
∴∠ABC=∠C=90°，AB：EC=BE：CF=2：1，
∴△ABE∽△ECF，
∴∠BAE=∠CEF，
又∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠AEF=180°-（∠CEF+∠AEB）=90°，
∴AE⊥EF；

（2）解：如图2，连接BF，过点B作BG⊥AF于G．
∵CF=1，CD=4，∴DF=3．
在△ADF中，∵DF=3，AD=4，
∴由勾股定理得：AF=5．
∵S_△ABF=AF•BG=S_{正方形ABCD}-S_△BCF-S_△ADF，
∴×5×BG=4²-×4×1-×4×3，
∴BG=．
故点B到直线AF的距离．
分析：（1）由题中条件，先根据两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似可得△ABE∽△ECF，再根据相似三角形对应角相等得出∠BAE=∠CEF，而∠BAE+∠AEB=90°，由等量代换、平角的定义及垂线的定义即可证明出AE⊥EF；
（2）过点B作BG⊥AF于G，则BG为所求．连接BF，根据S_△ABF=AF•BG=S_{正方形ABCD}-S_△BCF-S_△ADF，即可求解．
点评：本题主要考查了正方形的性质，点到直线的距离的定义，相似三角形的判定与性质，难度中等．（1）中证明出△ABE∽△ECF，是解题的关键，（2）中根据△ABF的面积不变列式是解题的关键．