Question

如图，在?ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M、N，
（1）求证：△AMB∽△AND； 
（2）求证：

AM

AB

=

MN

AC

．

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形的性质得∠B=∠D，AD=BC，再由AM⊥BC，AN⊥CD得到∠AMB=∠AND=90°，然后根据相似三角形的判定方法即可得到结论；
（2）由△AMB∽△AND得到

AM

AN

=

AB

AD

，由于BC=AD，则

AM

AN

=

AB

BC

，由AD∥BC得∠DAM=∠AMB=90°，则∠MAN=90°-∠DAN，根据等角的余角相等得到∠MAN=∠D，所以∠B=∠MAN，根据有两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似可判断△AMN∽△BAC，然后根据三角形相似的性质即可得到结论．

解答：证明：（1）∵ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D，AD=BC，
∵AM⊥BC，AN⊥CD，
∴∠AMB=∠AND=90°，
∴△AMB∽△AND；

（2）∵△AMB∽△AND，
∴

AM

AN

=

AB

AD

，
而AD=BC，
∴

AM

AN

=

AB

BC

①，
∵AD∥BC，
∴∠DAM=∠AMB=90°，
∵∠MAN=90°-∠DAN，
而∠D=90°-∠DAN，
∴∠MAN=∠D，
而∠D=∠B，
∴∠B=∠MAN②，
由①②得△AMN∽△BAC，
∴

AM

AB

=

MN

AC

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等，对应角相等．也考查了平行四边形的性质．