Question

如图，CD∥AB，∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，且E在AD上，CE交BA的延长线于F点．
（1）BE与CF互相垂直吗？若垂直，请说明理由；
（2）若CD=3，AB=4，求BC的长．

Answer 1

解：（1）垂直．
∵CD∥AB，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，
∴∠ABE=∠EBC，∠DCE=∠ECB，
∴∠EBC+∠ECB=∠ABC+∠BCD=（∠ABC+∠BCD）=90°，
∴∠CEB=90°，
∴BE与CF互相垂直．

（2）∵∠CEB=90°，
∴∠FEB=90°，
在△FBE和△CBE中，
∵，
∴△FBE≌△CBE（ASA），
∴BF=BC，EF=EC，
∵CD∥AB，
∴∠DCE=∠AFE，
∵∠FEA=∠CED，
∴△DCE≌△AFE，
∴DC=AF，
∵CD=3，AB=4，BF=AF+AB，
∴BF=BC=7．
分析：（1）根据平行线的性质可得到∠ABC+∠BCD=180°，由角平分线的性质不难推出∠EBC+∠ECB=90°，即BE与CF垂直．
（2）利用ASA可判定△FBE≌△CBE，由全等三角形的性质可得到BF=BC，EF=EC，同理利用ASA判定△DCE≌△AFE，从而可得到DC=AF，已知AB，CD的长，则不难求得BC的长．
点评：此题主要考查学生对平行线的性质及全等三角形的判定及性质的综合运用．