Question

如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥DB，垂足为O．求证：AB²＋CD²＝AD²＋BC²．

Answer 1

答案：
解析：

分析：由于四边形的对角线互相垂直，于是得到四个直角三角形，而要证明的结论又恰好是线段平方的形式，所以考虑对四个直角三角形分别运用勾股定理． 　　证明：因为AC⊥DB，垂足为O， 　　所以∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°． 　　所以在Rt△AOB、Rt△BOC、Rt△COD和Rt△DOA中，分别运用勾股定理，得 　　AB2＝OA2＋OB2，BC2＝OB2＋OC2，CD2＝OC2＋OD2，AD2＝OA2＋OD2． 　　所以AB2＋CD2＝OA2＋OB2＋OC2＋OD2，BC2＋AD2＝OB2＋OC2＋OA2＋OD2． 　　所以AB2＋CD2＝AD2＋BC2．