Question

正方形ABCD，E是BC中点，∠AEF=90°，∠1=∠2
（1）线段AE与EF的数量关系为______
（2）在线段BC上，若E不是BC中点，上述关系是否成立？若成立，加以证明；若不成立，说明理由？

Answer 1

解：（1）取AB的中点G，
∵正方形ABCD，E是BC中点，
∴AG=BG=BE=EC，
∴△BEG是等腰直角三角形，
∴∠BGE=45°，
∠AGE=180°-45°=135°，
∵∠1=∠2，
∴∠ECF=90°+45°=135°，
∴∠AGE=∠ECF，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEF=180°-90°=90°，
又∵∠BAE+∠AEB=180°-90°=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
在△AGE和△ECF中，，
∴△AGE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；

（2）结论AE=EF仍然成立．
理由如下：在AB上截取BG=BE，
则△BGE是等腰直角三角形，
∴∠BGE=45°，
∠AGE=180°-45°=135°，
∵AG+BG=AB，BE+EC=BC，AB=BC，
∴AG=EC，
∵∠1=∠2，
∴∠ECF=90°+45°=135°，
∴∠AGE=∠ECF，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEF=180°-90°=90°，
又∵∠BAE+∠AEB=180°-90°=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
在△AGE和△ECF中，，
∴△AGE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．
分析：（1）取AB的中点G，根据正方形的性质求出AG=BG=BE=EC，然后求出△BEG是等腰直角三角形，再求出∠AGE=135°，∠ECF=135°，从而得到∠AGE=∠ECF，再根据同角的余角相等求出∠BAE=∠CEF，然后利用“角边角”证明△AGE和△ECF全等，根据全等三角形对应边相等求解即可；
（2）在AB上截取BG=BE，得到△BGE是等腰直角三角形，然后求出∠AGE=135°，再根据正方形的性质求出AG=EC，再求出∠ECF=135°，从而得到∠AGE=∠ECF，再根据同角的余角相等求出∠BAE=∠CEF，然后利用“角边角”证明△AGE和△ECF全等，根据全等三角形对应边相等求解即可．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，作辅助线并求出∠AGE=∠ECF和AG=EC是解题的关键，也是本题的难点．