Question

如图，在直角坐标系中，抛物线y=x²+bx+c的顶点D在直线y=x上运动．抛物线与y轴相交于C点．
（1）当b=-4时，求C点坐标；
（2）抛物线与x轴相交于A、B两点，当△ABD为直角三角形时，求b，c的值；
（3）线段MN的端点M（-1，1），N（-2，4），若抛物线与线段MN有公共点，求b的取值范围．

Answer 1

解：∵抛物线y=x²+bx+c的顶点D在直线y=x上运动，
∴设抛物线y=x²+bx+c的顶点D的坐标是（-，-）．
（1）如图1，∵点D在抛物线上，
∴-=（-）²+b•（-）+c，即c=-+．
又∵b=-4，
c=-+=6，即c=6．
令x=0，则y=c=6，即C（0，6）；

（2）如图2，连接AD、BD．
∵点A、B是抛物线y=x²+bx+c与x轴的两个交点，点D是顶点，
∴AB=BD，
∴在直角△ABD中，∠ADB=90°．
设A（x₁，0）、B（x₂，0），则x₁+x₂=-b，x₁x₂=c．
∴AB=|x₁-x₂|==，
则，
解得，，即b，c的值分别是8、12；

（3）如图3，当点M（-1，1）在抛物线y=x²+bx+c上时，b取最小值，
所以，1=1-b+c，即b=c，
则b=-+，解得b=6；
当点N（-2，4）在抛物线y=x²+bx+c上时，b取最大值，所以4=4-2b+c，即2b=c，
则2b=-+，解得b=10，
所以b的取值范围是6≤b≤10．
分析：（1）由一次函数图象上点的坐标特征和二次函数顶点坐标公式知D（-，-）．所以把点D的坐标代入二次函数解析式即可求得c=6；
（2）利用两根之和与两根之积公式、等腰直角三角形的性质即可求出b、c的值；
（3）将点M、N的坐标分别代入抛物线解析式求得的b的值即为b的最值．
点评：本题综合考查了一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的性质以及等腰直角三角形的性质．解答（3）题时，采用了“数形结合”的数学思想，降低了题的难度．