Question

如果点P将⊙O的弦AB和CD分成的四条线段PA，PB，PC，PD的长度恰好是四个互不相同的正整数，则称点P为⊙O的”整分点”．现已知M是半径为5的⊙O上一点，则在半径OM上有________个不同的整分点．

Answer 1

2
分析：设PA•PB=PC•PD=k，则只需k不是质数和质数的平方，又有圆幂定理及⊙O的半径为5，得k=25-OP²，则k是小于25且不是质数和质数的平方的正整数弧，进而求得k的取值．从而得出满足题意的答案．
解答：由已知得，线段PA，PB，PC，PD的长是互不相同的正整数，且满足PA•PB=PC•PD，
设PA•PB=PC•PD=k，则只需k不是质数和质数的平方即可，
又有圆幂定理及⊙O的半径为5，得k=25-OP²，
所以k是小于25且不是质数和质数的平方的正整数弧，
即k可以取6，8，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，共12个数．
故满足题意的整分点P，共有12个，但注意到弦长不大于直径，故满足题意的只有6，8，
即共有2个点．
故答案为：2．
点评：本题是一道新定义的题目，考查了一元二次方程的整数根和有理根以及相交相定理，是竞赛题，难度较大．