Question

如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G。

（1）求证：EF=EG；
（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；
（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求的值。

Answer 1

解：（1）∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°， ∴∠DEF=∠GEB， 又∵ED=BE， ∴Rt△FED≌Rt△GEB（ASA）， ∴EF=EG；
（2）成立， 证明如下： 如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，则EH=EI，∠HEI=90°， ∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°， ∴∠IEF=∠GEH， ∴Rt△FEI≌Rt△GEH（ASA）， ∴EF=EG；
（3）如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，则∠MEN=90°， ∴EM∥AB，EN∥AD， ∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB， ∴，， ∴即 ∵∠IEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°， ∴∠GEM=∠FEN， ∵∠GME=∠FNE=90°， ∴△GME∽△FNE， ∴， ∴。