Question

已知，如图，二次函数y=ax²+2ax-3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：对称。
（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；
（2）求二次函数解析式；
（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值。

Answer 1

解：（1）依题意，得ax2+2ax-3a=0（a≠0）， 解得x1=﹣3，x2=1， ∵B点在A点右侧， ∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0）， 答：A、B两点坐标分别是（﹣3，0），（1，0）， 证明：∵直线l：， 当x=﹣3时，， ∴点A在直线l上；
（2）∵点H、B关于过A点的直线l：对称， ∴AH=AB=4， 过顶点H作HC⊥AB交AB于C点， 则，， ∴顶点， 代入二次函数解析式，解得， ∴二次函数解析式为， 答：二次函数解析式为；
（3）直线AH的解析式为， 直线BK的解析式为， 由， 解得， 即，则BK=4， ∵点H、B关于直线AK对称， ∴HN+MN的最小值是MB，， 过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E， 则QM=MK，，AE⊥QK， ∴BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值， ∵BK∥AH， ∴∠BKQ=∠HEQ=90°， 由勾股定理得QB=8， ∴HN+NM+MK的最小值为8， 答：HN+NM+MK和的最小值是8。