Question

1．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=45°，E为BC边上的一点，连接EA，作∠AEF，使得∠AEF=∠B，射线EF与CD交于点F．若AD=1，BC=5，且△ABE为等腰三角形，AB为一腰，则CF的长为5-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由等腰三角形的性质可得出∠BAE=∠BEA和AB=BE，再利用角与角的关系能求出∠CEF=∠BEA=67.5°，由三角形的内角和为180°可找出∠CEF=∠CFE，从而得出△CEF为等腰三角形，要求CF只需求出CE即可，由四边形ABCD为等腰梯形且AD=1，BC=5，∠B=45°，能够得出AB的值，到此，即可根据CF=CE=BC-AB得出结论．

解答 解：过点A作AH⊥BC于H，如图所示．

∵AD∥BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∵∠B=45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴AH=BH=$\frac{BC-AD}{2}$=2，AB=$\sqrt{2}$BH=2$\sqrt{2}$．
又∵△△ABE为等腰三角形，
∴∠BAE=∠BEA，AB=BE，
∴BE=AB=2$\sqrt{2}$，CE=BC-BE=5-2$\sqrt{2}$，
∴∠AEB=$\frac{180°-∠B}{2}$=67.5°，
∴∠CEF=180°-∠AEB-∠AEF=67.5°．
∵∠CFE=180°-∠C-∠CEF=67.5°，
∴∠CEF=∠CFE，
∴△CEF是等腰三角形，
∴CF=CE=5-2$\sqrt{2}$．
故答案为：5-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是：找到∠CEF=∠CFE，即得出CF=CE，将求CF的长转化为求CE的长．本题难度不大，在计算中只要细心的寻找角与角之间的关系，利用等腰三角形的底角相等以及三角形内角和为180°，再借助巧分平角找出两角相等，从而得出等腰三角形．