Question

如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AC=10，D是△ABC外一点，连接BD，过D作DH⊥AB，垂足为H交AC于E，若BD=AB，且tan∠HDB=

3

4

，求DE的长．

Answer 1

分析：首先根据勾股定理得出BA的长，再利用解直角三角形得出BH，DH的长，进而得出AH=EH的长，即可得出答案．

解答：解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AC=10，
∴BC²+BA²=100，AB=BC，
∴解得：BA=5

2

，
∵DH⊥AB，BD=AB，tan∠HDB=

3

4

，
∴tan∠HDB=

BH

DH

=

3

4

，BD=AB=5

2

，
假设BD=3x，则BH=4x，
∴BD²=BH²+DH²，
∴50=25x²，
∴x=

2

，
∴BH=3

2

，DH=4

2

，
∴AH=5

2

-3

2

=2

2

，
∵∠A=∠C=45°，EH⊥AH，
∴AH=EH=2

2

，
∴DE=4

2

-2

2

=2

2

．

点评：此题主要考查了勾股定理的应用以及解直角三角形和等腰角三角形的性质等知识，根据已知得出AH=EH进而得出其长度是解决问题的关键．