Question

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E。
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若∠B=60°，CD=，求AE的长。

Answer 1

解：（1）如图1，连接OC， ∵CD为⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∴ ∠OCD＝90°， ∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝90°， ∴ ∠OCD＋∠ADC＝180°， ∴ AD∥OC， ∴ ∠1＝∠2， ∵ OA＝OC， ∴ ∠2＝∠3， ∴ ∠1＝∠3，即AC平分∠DAB； （2）如图2，∵ AB为⊙O的直径， ∴ ∠ACB＝90°， 又∵ ∠B＝60°， ∴ ∠1＝∠3＝30°， 在Rt△ACD中，CD＝， ∴ AC＝2CD＝， 在Rt△ABC中，AC＝， ∴ AB=， 连接OE， ∵∠EAO＝2∠3＝60 °，OA＝OE， ∴△AOE是等边三角形， ∴AE＝OA＝AB＝4。