如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC=12，AD=8，矩形EFGH的边EF与BC重合，点G、H分别在AC、AB上运动．分析 （1）设FG的长为x，则AK的长为（8-x），然后可列出比例式：$\frac{AK}{AD}=\frac{GH}{CB}$，
（2）①由轴对称图形的性质可知：FG=FG′，因为四边形H H′G′G为正方形，所以GH=GG′=2GF．设FG=x，则HG=2x．由（1）可知：$\frac{AK}{AD}=\frac{GH}{CB}$，从而可求得：GF=$\frac{24}{7}$，GH=$\frac{48}{7}$，AK=$\frac{32}{7}$，然后利用三角形的面积公式求解即可；
②设FG的长为x，则AK的长为（8-x），先求得△AHG的面积和△GCG′的面积，从而可得到y=$（\frac{8}{x}-1）^{2}+2$，然后根据x的取值范围是3≤x≤5求得y的最大值即可．
解答 解：（1）设FG的长为x，则AK的长为（8-x），
∵四边形EFGH为矩形，
∴HG∥BC．
∴$\frac{AK}{AD}=\frac{GH}{CB}$，即：$\frac{8-x}{8}=\frac{GH}{12}$．
∴GH=$\frac{3}{2}（8-x）$．
矩形EFGH面积=GH•GF=$\frac{3}{2}（8-x）x$=-$\frac{3}{2}{x}^{2}+12x$=-$\frac{3}{2}（x-4）^{2}+24$，
∴当x=4时，矩形的面积有最大值．
∴GF=4，EF=GH=6．
∴EF：GF=3：2．
（2）①如图1所示：
由轴对称图形的性质可知：FG=FG′，
∵四边形H H′G′G为正方形，
∴GH=GG′=2GF．
设FG=x，则HG=2x.$\frac{8-x}{8}=\frac{2x}{12}$由（1）可知：$\frac{AK}{AD}=\frac{GH}{CB}$即：$\frac{8-x}{8}=\frac{2x}{12}$
解得：x=$\frac{24}{7}$，
∴GF=$\frac{24}{7}$，GH=$\frac{48}{7}$，AK=$\frac{32}{7}$．
△AHG的面积=$\frac{1}{2}GH•AK=\frac{1}{2}×\frac{48}{7}×\frac{32}{7}$=$\frac{768}{49}$．
②如图2：
设FG的长为x，则AK的长为（8-x），
由（1）可知：GH=$\frac{3}{2}（8-x）$．
∴△AHG的面积=$\frac{1}{2}GH•AK$=$\frac{3}{2}（8-x）^{2}$，
FC=$\frac{1}{2}$（BC-FE）=$\frac{1}{2}（BC-GH）$=$\frac{1}{2}[12-\frac{3}{2}（8-x）]$=$\frac{3}{4}x$
∴△GCG′的面积=$\frac{1}{2}GG′•FC$=$\frac{1}{2}×2x×\frac{3}{2}x$=$\frac{3}{4}{x}^{2}$．
∵y=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}+2$，
∴y=$\frac{\frac{3}{2}（8-x）^{2}}{\frac{3}{4}{x}^{2}}+2$=$\frac{2×（8-x）^{2}}{{x}^{2}}$=2$（\frac{8}{x}-1）^{2}+2$．
∵3≤x≤5，
∴当x=3时，y有最大值，
∴y的最大值=2×$（\frac{8}{3}-1）^{2}+2$=$\frac{68}{9}$．
点评 本题考查的是相似三角形的性质、矩形、正方形、等腰三角形的性质和二次函数的综合应用，利用相似三角形的性质求得求得相关线段的长度（用含x的式子表示）是解题的关键．
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