如图(1).在等腰梯形ABCD中.AD∥BC.E是AB的中点.过点E作EF∥BC交CD于点F.AB=4.BC=6.∠B=60°. (1)求点E到BC的距离,(2)点P为线段EF上的一个动点.过P作PM⊥EF交BC于点M.过M作MN∥AB交折线ADC于点N.连接PN.设EP=x.①当点N在线段AD上时.△PMN的形状是否发生改变?若不变.求出△PMN的周长,若改变.请说明理由,②当点N在线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图（1），在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F，AB=4，BC=6，∠B=60°。

（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x。
①当点N在线段AD上时（如图（2）），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图（3）），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由。

解：（1）如图（1），过点E作EG⊥BC于点G
∵E为AB的中点，
∴

，
在Rt△EBG中，∠B=60°，
∴∠BEG=30°，
∴

，

，即点E到BC的距离为

；

（2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变，
∵PM⊥EF，EG⊥EF，
∴PM∥EG，
∵EF∥BC，
∴EP=GM，PM=EG=

，
同理，MN=AB=4，如图（2），
过点P作PH⊥MN于H，
∵MN∥AB，
∴∠NMC=∠B=60°，则∠PMH=30°，
∴

，
则

，
∴MH=PM·cos30°=

，
在Rt△PNH中，

，
∴△PMN的周长=PM+PN+MN=

；
②当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但△MNC恒为等边三角形，当PM=PN时，如图（3）
作PR⊥MN于R，则MR=NR，
类似①，

，
∴MN=2MR=3，
∵△MNC是等边三角形，
∴MC=MN=3，
此时，x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2，
当MP=MN时，如图（4），
这时MC=MN=MP=

，
此时．x=EP=GM=6-1-

=5-

，
当NP=NM时，如图（5），∠NPM=∠PMN=30°，
则∠PNM=120°，又∠MNC=60°，
∴∠PNM+∠MNC=180°，
因此点P与F重合，△PMC为直角三角形，
∴MC=PM·tan30°=1，
此时，x=EP=GM=6-1-1=4，
综上所述，当x=2或4或

时，△PMN为等腰三角形。

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①求S关于x的函数关系式；
②△PMN的面积是否存在最大值，若不存在，请说明理由．若存在，求出面积的最大值；
（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC）．现在开始操作：固定等腰梯形ABCO，将直角梯形EDGH以每秒1个单位的速度沿OC方向向右移动，直到点D与点C重合时停止（如图2）．设运动时间为t秒，运动后的直角梯形为E′D′G′H′；探究：在运动过程中，等腰梯ABCO与直角梯形E′D′G′H′重合部分的面积y与时间t的函数关系式．

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