Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD // BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从A点开始沿AD边向D以3cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以1cm/s的速度运动，点P、Q分别从A、C同时出发，设运动时间为t (s)．
⑴当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
①当t为何值时，以CD、PQ为两边，以梯形的底（AD或BC）的一部分（或全部）为第三边能构成一个三角形；②当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形．
⑵若点P从点A开始沿射线AD运动，当点Q到达点B时，点P也随之停止运动.当t为何值时，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形．

Answer 1

（1）①t=0s或t=8s时；②t=7s；（2）t=6s或t=12s时.

解析试题分析：（1）①能组成三角形，则需要有三条边，可得当点P与点A重合时与点P与点D重合时两种情况可组成三角形，求解即可得到t的值；
②由BC-CD=2cm，可知当CQ-PD=4cm时，四边形PQCD为等腰梯形，列方程求解即可；
（2）根据题意可知：当P在线段AD上，则当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，P在线段AD的延长线上，则当PD=CQ时，四边形DQCP为平行四边形，所以列方程求解即可．
（1）①根据题意得：
当点P与点A重合时能构成一个三角形，此时t=0，
∵点P到达D点需：8（s），
点Q到达B点需：26（s），
∴当点P与点D重合时能构成一个三角形，此时t=8s；
故当t=0或8s时，以CD、PQ为两边，以梯形的底（AD或BC）的一部分（或全部）为第三边能构成一个三角形；
②∵BC-AD=2cm，
过点P作PF⊥BC于点F，过点D作DE⊥BC于点E，

∵当PQ=CD时，四边形PQCD为等腰梯形，
∴△PFQ≌△DCE，EF=PD，
∴QF=CE=2cm，
∴当CQ-PD=QF+CE=4cm时，四边形PQCD为等腰梯形，
∴t-（24-3t）=4，
∴t=7（s），
∴当t=7s时，四边形PQCD为等腰梯形；
（2）如果P在线段AD上，则当PD=CQ四边形PQCD为平行四边形，
∴24-3t=t，
解得：t=6（s），
∴当t=6s时，四边形PQCD为平行四边形；
如果P在线段AD的延长线上，
则当PD=CQ时，四边形DQCP为平行四边形，
即3t-24=t，
解得：t=12（s），
∴当t=6或12s时，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形．
考点：本题考查了等腰梯形的判定与性质，平行四边形的判定与性质
点评：解答本题的关键是解题时需要仔细识图，注意合理应用数形结合思想．