Question

（1）已知b²=ac，求

a2b2c2

a3+b3+c3

•(

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

)的值；
（2）已知x、y、z满足

x

y+z

+

y

z+x

+

z

x+y

=1，求代数式

x2

y+z

+

y2

z+x

+

z2

x+y

的值．

Answer 1

分析：（1）先把分式化简，再代入求值即可；
（2）由已知可得

x

y+z

=1-

y

z+x

-

z

x+y

，则

x2

y+z

=x-

xy

z+x

-

yz

x+y

，同理求得所求代数式中的后两个式子的表达式，相加并化简即可．

解答：解：（1）原式=

a2b2c2

a3+b3+c3

•

b3c3+a3c3+a3b3

a3b3c3

=

1

a3+b3+c3

•

b3c3+a3b3+a3c3

abc

=

b3(a3+b3+c3)

(a3+b3+c3)abc

=

b2

ac

，
∵b²=ac，
∴原式=1；
（2）由已知可得

x

y+z

=1-

y

z+x

-

z

x+y

，
则

x2

y+z

=x-

xy

z+x

-

xz

x+y

①，
同理

y2

z+x

=y-

xy

y+z

-

yz

x+y

②，

z2

x+y

=z-

xz

y+z

-

yz

z+x

③，
①+②+③得

x2

y+z

+

y2

z+x

+

z2

x+y

=（x+y+z）-

xy+yz

z+x

-

xz+xy

y+z

-

xz+yz

x+y

=x+y+z-y-x-z=0．

点评：此题考查了分式的化简求值，要特别注意观察已知条件和所求代数式的关系，再进行化简．此题难度较大．