练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    （2012•无锡）如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以
    		3
    cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．
    （1）当P异于A、C时，请说明PQ∥BC；
    （2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？
    分析：（1）连接BD交AC于O，构建直角三角形AOB．利用菱形的对角线互相垂直、对角线平分对角、邻边相等的性质推知△PAQ∽△CAB；然后根据“相似三角形的对应角相等”证得∠APQ=∠ACB；最后根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”可以证得结论；
    （2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，构建Rt△CPM，在Rt△CPM利用特殊角的三角函数值求得PM=
    1
    2
    PC=
    		3
    -
    		3
    2
    t    ，然后根据PM=PQ=AQ=t列出关于t的方程，通过解方程即可求得t的值；
    如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，根据等边三角形的判定可以推知△PQB为等边三角形，然后由等边三角形的性质以及（2）中求得t的值来确定此时t的取值范围；
    如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，据此等量关系列出关于t的方程，通过解方程求得t的值．
    解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2cm，
    ∴AB=BC=2，∠BAC=
    1
    2
    ∠DAB，
    又∵∠DAB=60°（已知），
    ∴∠BAC=∠BCA=30°；
    如图1，连接BD交AC于O．
    ∵四边形ABCD是菱形，
    ∴AC⊥BD，OA=
    1
    2
    AC，
    ∴OB=
    1
    2
    AB=1（30°角所对的直角边是斜边的一半），
    ∴OA=
    		3
    （cm），AC=2OA=2
    		3
    （cm），
    运动ts后，AP=
    		3
    t，AQ=t    ，
    ∴
    AP
    AQ
    =
    AC
    AB
    =
    		3

    又∵∠PAQ=∠CAB，
    ∴△PAQ∽△CAB，
    ∴∠APQ=∠ACB（相似三角形的对应角相等），
    ∴PQ∥BC（同位角相等，两直线平行）…5分

    （2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC．
    在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM=
    1
    2
    PC=
    		3
    -
    		3
    2
    t
    由PM=PQ=AQ=t，即
    		3
    -
    		3
    2
    t    =t
    解得t=4
    		3
    -6，此时⊙P与边BC有一个公共点；

    如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，
    ∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°
    ∴△PQB为等边三角形，∴QB=PQ=AQ=t，∴t=1
    ∴当4
    		3
    -6＜t≤1    时，⊙P与边BC有2个公共点．

    如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，即2
    		3
    -
    		3
    t=t，∴t=3-
    		3
    ．
    ∴当1＜t≤3-
    		3
    时，⊙P与边BC有一个公共点，
    当点P运动到点C，即t=2时，⊙P过点B，此时，⊙P与边BC有一个公共点，
    ∴当t=4
    		3
    -6或1＜t≤3-
    		3
    或t=2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；
    当4
    		3
    -6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．
    点评：本题综合考查了菱形的性质、直线与圆的位置关系以及相似三角形的判定等性质．解答（2）题时，根据⊙P的运动过程来确定t的值，以防漏解．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•无锡） 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D是AB的中点．现将△BCD沿BA方向平移1cm，得到△EFG，FG交AC于H，则GH的长等于
    3
    3
    cm．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•无锡）如图，以M（-5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F，则EF的长（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•无锡）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边
    形ABED的周长等于（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•无锡）如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）．
    （1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；
    （2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案