Question

如图，正方形ABCD的边长为1，P为AB上的点，Q为AD上的点，且△APQ的周长为2．求∠PCQ的度数．

Answer 1

∵正方形ABCD的边长为1，
∴AB+AD=1+1=2，
∵△APQ的周长为2，
∴AP+AQ+PQ=2，
又∵AB=AP+BP，AD=AQ+DQ，
∴DQ+BP=PQ，
将△CBP绕点C顺时针旋转90°得△CDE，
则CE=CP，DE=BP，∠BCP=∠DCE，
∴EQ=DQ+DE=DQ+BP=PQ，
在△CPQ和△CEQ中，

CE=CP EQ=PQ CQ=CQ

，
∴△CPQ≌△CEQ（SSS），
∴∠PCQ=∠ECQ，
又∵∠PCQ+∠ECQ=∠PCQ+∠DCQ+∠DCE=∠PCQ+∠DCQ+∠BCP=∠BCD=90°，
∴∠PCQ=

1

2

×90°=45°．