Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
注：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=-．

Answer 1

解：（1）∵OA=2，OC=3，
∴A（-2，0），C（0，3），
∴c=3，
将A（-2，0）代入y=-x²+bx+3得，-×（-2）²-2b+3=0，
解得b=，
可得函数解析式为y=-x²+x+3；

（2）如图：连接AD，与对称轴相交于P，由于点A和点B关于对称轴对称，则即BP+DP=AP+DP，当A、P、D共线时BP+DP=AP+DP最小．
设AD的解析式为y=kx+b，
将A（-2，0），D（2，2）分别代入解析式得，，
解得，，故直线解析式为y=x+1，（-2＜x＜2），
由于二次函数的对称轴为x=-=，
则当x=时，y=×+1=，
故P（，）．
分析：（1）根据OC=3，可知c=3，于是得到抛物线的解析式为y=-x²+bx+3，然后将A（-2，0）代入解析式即可求出b的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）由于BD为定值，则△BDP的周长最小，即BP+DP最小，由于点A和点B关于对称轴对称，则即BP+DP=AP+DP，当A、P、D共线时BP+DP=AP+DP最小．
点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式和轴对称---最短路径问题，先假设存在P，若能解出P的坐标，则P存在；否则，P不存在．