Question

已知抛物线y=ax²经过A（-2，8）．
（1）求a的值；
（2）若抛物线上纵坐标为8的另一个点为B，试求出△AOB的面积；
（3）抛物线上是否存在一点C，使△ABC的面积等于△AOB面积的一半？如果存在，直接写出点C的坐标；如果不存在，试说明理由．

Answer 1

解：（1）将A（-2，8）代入抛物线y=ax²得：（-2）²a=8，a=2．
（2）由（1）结果可知，函数解析式为y=2x²，
当y=8时，2x²=8，解得x=±2，
则B点坐标为（2，8）．如图：
S_△AOB=AB•OD=×4×8=16．
（3）∵AB=4，设AB为底边的三角形ABC的高为h，
则以AB为底边的三角形的面积为8，
故AB•h=8，
×4h=8，
解得h=4．
则C点纵坐标为8+4=12或8-4=4，
当2x²=12时，x²=6，x=±；
当2x²=8时，x²=4，x=±2，
故C点坐标为（，12），（-，12），（2，4），（-2，4）．
分析：（1）将A（-2，8）代入抛物线y=ax²即可求出a=2，从而得到函数解析式；
（2）令y=8即可求出x的值，从而得到AB的长，利用三角形面积公式即可得到三角形面积；
（3）根据△ABC的面积等于△AOB面积的一半求出三角形的高，从而得到三角形的顶点坐标．
点评：本题考查了二次函数的性质，涉及函数图象与坐标的关系、二次函数的性质、三角形的面积公式，是一道综合性较强的题目．要注意数形结合．