Question

已知a、b是正实数，那么，≥是恒成立的．

(1)由(－)²≥0恒成立，说明≥恒成立；

(2)填空：已知a、b、c是正实数，由≥恒成立，猜测：__也恒成立；

(3)如图，已知AB是直径，点P是弧上异于点A和点B的一点，PC⊥AB，垂足为C，AC＝a，BC＝b，由此图说明恒成立．

Answer 1

答案：
解析：

分析．(1)由(－)2≥0，利用完全平方公式，即可证得恒成立； 　　(2)由a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ac)＝(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]，可证得a3＋b3＋c3≥3abc，即可得也恒成立； 　　(3)首先证得Rt△APC∽Rt△PBC，由相似三角形的对应边成比例，可求得PC的值，又由OP是半径，可求得OP＝，然后由点到线的距离垂线段最短，即可证得恒成立． 　　解答．解：(1)∵(－)2≥0， 　　∴a－2＋b≥0，(1分) 　　∴a＋b≥2，(2分) 　　∴≥；(3分) 　　(2)(6分) 　　理由：a3＋b3＋c3－3abc 　　＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ac) 　　＝(a＋b＋c)(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac) 　　＝(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2] 　　∵a、b、c是正实数， 　　∴a3＋b3＋c3－3abc≥0， 　　∴a3＋b3＋c3≥3abc， 　　同理：也恒成立； 　　故答案为：； 　　(3)如图，连接OP， 　　∵AB是直径， 　　∴∠APB＝90°， 　　又∵PC⊥AB， 　　∴∠ACP＝∠ACB＝90°， 　　∴∠A＋∠B＝∠A＋∠APC＝90°， 　　∴∠APC＝∠B， 　　∴Rt△APC∽Rt△PBC， 　　∴， 　　∴PC2＝AC·CB＝ab， 　　∴PC＝，(7分) 　　又∵PO＝， 　　∵PO≥PC， 　　∴．(8分) 　　点评．此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、几何不等式的应用与证明以及完全平方公式等知识．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想的应用，注意完全平方式的非负性的应用．

提示：

考点．相似三角形的判定与性质；完全平方公式；一元一次不等式的应用；圆周角定理．