Question

如图所示，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AE平分∠BAC交CD于G，交BC于E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接FG．求证四边形CEFG是菱形．

Answer 1

答案：略
解析：

证法1：∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACB=90°， ∴CE=EF． ∵CD⊥AB，∴∠ADG=90°． ∴∠2＋∠AGD=90°，∠1＋∠AEC=90°． ∵∠1=∠2，∴∠AGD=∠AEC． ∵∠AGD=∠CGE， ∴∠CGE=∠AEC，∴CG=CE，∴CG=EF． ∵CD⊥AB，EF⊥AB， ∴CD∥EF，∴四边形CEFG是平行四边形． ∵CE=EF，∴四边形CEFG是菱形． 证法2：∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠2． ∵EF⊥AB，∴∠AFE=∠ACB=90°． 在△ACF和△AFE中， ∴△ACE≌△AFE，∴AF=AC，CE=EF． 在△AGC和△AGF中， ∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°． ∴∠1＋∠AEC=90°，∠2＋∠AGD=90°． ∵∠1=∠2，∴∠AGD=∠AEC． ∵∠AGD=∠CGE，∴∠CGE=∠AEC，∴CG=CE． ∴CG=CE=EF=FG，∴四边形CEFG是菱形． 证法3：如图所示，连接CF，交GE于O． ∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠2． ∵∠ACB=90°，EF⊥AB， ∵∠ACB=∠AFE=90°． 在△ACE和△AFE中， ∴△ACE≌△AEF，∴AC=AF． ∵AE平分∠ABC，∴AE垂直平分CF． ∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACB=∠ADC=90°． ∴∠1＋∠AEC=∠2＋∠AGD=90°． ∵∠1=∠2，∴∠AEC=∠AGD， ∴∠CGE=∠AEC，∴CG=CE． ∵AE⊥CF，∴CF平分GE，∴CF与GE互相垂直平分． ∴四边形CEFG是菱形．

提示：

要证四边形CEFG是菱形，由已知条件AE平分∠BAC，∠ACB=90°，EF⊥AB．可证EF=CE，所以只需证四边形CEFG是平行四边形，证明平行四边形的方法有很多，这里给出此题三种证法．