Question

如图，在△ABC中，∠A=60°，点E是两条内角平分线的交点，点F是两条外角平分线，点A₁是内角∠ABC、外角∠ACD平分线的交点的交点．
（1）求∠A₁EC的度数；
（2）求∠BFC的度数；
（3）探索∠A₁与∠A的数量关系，并说明理由；
（4）若∠A=100°，在（3）的情况下，作∠A₁BC与∠A₁CD的平分线交于点A₂，以此类推，∠A_nBC与∠A_nCD的平分线交于点A_n，求∠A_n的度数．（直接写出结果）

Answer 1

解：（1）∵点E是两条内角平分线的交点，
∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，
∴∠BEC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A=120°，
∴∠A₁EC=180°-120°=60°；
（2）∵点F是两条外角平分线，
∴∠FBC=（180°-∠ABC），∠ECB=（180°-∠ACB），
∴∠BFC=180°-（180°-∠ABC+180°-∠ACB）=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A=60°，
（3）∠A₁=∠A．理由如下：
∵点A₁是内角∠ABC、外角∠ACD平分线的交点的交点．
∴∠ACD=2∠A₁CD，∠ABC=2∠A₁BD，
∵∠A₁=∠A₁CD-∠A₁BD，∠A=∠ACD-∠ABD，
∴∠A=2∠A₁CD-2∠A₁BD=2（∠A₁CD-∠A₁BD）
∴∠A=2∠A₁，
即∠A₁=∠A；
（4）∠A_n=．
分析：（1）根据角平分线定义得到∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠BEC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A），然后整理后把∠A=60°代入计算即可；
（2）根据角平分线定义得到∠FBC=（180°-∠ABC），∠ECB=（180°-∠ACB），再根据三角形内角和定理得∠BFC=180°-（180°-∠ABC+180°-∠ACB）=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A），然后把∠A=60°代入计算即可；
（3）根据角平分线定义得到∠ACD=2∠A₁CD，∠ABC=2∠A₁BD，再根据三角形外角性质得∠A₁=∠A₁CD-∠A₁BD，∠A=∠ACD-∠ABD，则∠A=2∠A₁CD-2∠A₁BD=2（∠A₁CD-∠A₁BD）=2∠A₁；
（4）根据（3）的结论可得到∠A_n=，然后把∠A的度数代入即可．
点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了三角形外角性质．