Question

如图，抛物线y＝ax2－4ax＋c(a≠0)经过A(0，－1)，B(5，0)两点，点P是抛物线上的一个动点，且位于直线AB的下方(不与A，B重合)，过点P作直线PQ⊥x轴，交AB于点Q，设点P的横坐标为m．

(1)求a，c的值；

(2)设PQ的长为S，求S与m的函数关系式，写出m的取值范围；

(3)以PQ为直径的圆与抛物线的对称轴l有哪些位置关系？并写出对应的m取值范围．(不必写过程)

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)利用待定系数法把点A、B的坐标代入抛物线表达式解二元一次方程组即可； 　　(2)先求出直线AB的解析式，然后分别求出点P与点Q的坐标，则PQ的长度S就等于点Q的纵坐标减去点P的纵坐标，然后整理即可； 　　(3)根据直线与圆的位置关系有相离、相切与相交共三种情况，又点P可以在对称轴左边也可以在对称轴右边，进行讨论列式求解即可． 　　解答：解：∵抛物线y＝ax2－4ax＋c过A(0，－1)，B(5，0) 　　∴， 　　解得：， 　　故ac的值分别为，－1， 　　抛物线的解析式是y＝x2－x－1； 　　(2)∵直线AB经过A(0，－1)，B(5，0)， 　　∴直线AB的解析式为y＝x－1， 　　由(1)知抛物线的解析式为：y＝x2－x－1， 　　∵点P的横坐标为m，点P在抛物线上，点Q在直线AB上，PQ⊥x轴， 　　∴P(m，m2－m－1)，Q(m，m－1)， 　　∴S＝PQ＝(m－1)－(m2－m－1)， 　　即S＝－m2＋m(0＜m＜5)； 　　(3)抛物线的对称轴l为：x＝2， 　　以PQ为直径的圆与抛物线的对称轴l的位置关系有： 　　相离、相切、相交三种关系 　　相离时：|m－2|＞(－m2＋m)， 　　解得0＜m＜或＜m＜5； 　　相切时：|m－2|＝(－m2＋m)， 　　解得m＝或m＝； 　　相交时：|m－2|＜(－m2＋m)， 　　解得＜m＜． 　　点评：本题考查了待定系数法，直线与二次函数相交的问题，直线与圆的位置关系，综合性较强，对同学们的能力要求较高，(3)中要注意分点P有在对称轴左边与右边的两种情况，容易漏解而导致出错．

提示：

二次函数综合题．