Question

如图，正方形ABCD的边长为4，以AB为直径向正方形内作半圆，CE与DF是半圆的切线，M，N为切点，CE，DF交于点P．则AE=________，△PMN的面积是________．

Answer 1

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分析：（1）由切线长定理知AE=EM，可用AE表示出DE、CE的长，进而在Rt△CED中，由勾股定理求得AE的值．
（2）易证得△PMN是等腰三角形，且MN∥CD∥AB，设直线MN与AD、BC的交点为R、T，根据∠REM的正弦和余弦值，可求出ER、MR的值，过P作PG⊥MN于G，易得△EMR∽△PMG，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出△PMG的面积，进而可得△PMN的面积．
解答：（1）由切线长定理知：AE=EM；
设AE=EM=x，则DE=4-x，CE=4+x；
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
（4-x）²+4²=（4+x）²，解得x=1；
故AE=1．
（2）同（1）可求得BF=FN=1，则DF=CE=5，DE=CF=3；
则可证得Rt△CDE≌Rt△DCF；
∴∠DCP=∠CDP，即DP=CP，
∴PM=PN；
故△DPC∽△NPM，且MN∥CD；
设MN所在直线与AD、BC的交点为R、T，则MR⊥AD，NT⊥BC；
在Rt△MRE中，ME=1，则ER=ME•cos∠DEC=，MR=ME•sin∠DEC=；
过P作PG⊥MN于G，则RG=GT=2，MG=2-RM=；
易知RE∥PG，则△REM∽△GPM，
∴=（）²=；
∵S_△REM=MR•RE=××=，
∴S_△PMG=×=，
故S_△PMN=2S_△PMG=．
点评：此题考查的知识点有：正方形的性质、切线长定理、全等三角形及相似三角形的判定和性质、三角形的面积计算方法等知识，综合性较强，难度较大．