Question

在△ABC中，直线MN∥BC，CE平分∠ACB，交MN于点E，CF平分∠ACG，交MN于点F，连接AE、AF．
（1）请你猜猜OE与OF的大小有什么关系？试证明你的结论；
（2）探索：当MN在什么位置时，四边形AECF是矩形，并说明理由．

Answer 1

解：（1）证明：∵CE平分∠ACB交MN于E，CF平分∠ACG交MN于F，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠FCG．
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，∠OFC=∠FCG．
∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF．
∴OE=OC，OC=OF．
∴OE=OF．

（2）当MN与AC的交点是AC的中点时，四边形AECF是矩形．
∵EO=FO，点O是AC的中点．
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CF平分∠BCA的外角，
∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠4=12×180°=90°．
即∠ECF=90度，
∴平行四边形AECF是矩形．
分析：（1）利用角平分线的定义和平行线的性质得到∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，从而可判定0E=OF；
（2）根据题意，结合图形可知，当MN与AC的交点是AC的中点时，四边形AECF是矩形．要证明四边形是矩形，则要证明一个角为直角的平行四边形，通过题干条件证明即可．
点评：本题主要考查矩形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，综合性很强，做题时应考虑全面．