Question

如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y=2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA=5．若抛物线过点O、A两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若A点关于直线y=2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O₁是以BC为直径的圆．过原点O作O₁的切线OP，P为切点（P与点C不重合），抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O₁相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）把O（0，0）、A（5，0）分别代入y=x²+bx+c，
得，
解得；
∴该抛物线的解析式为y=x²﹣x；
（2）点C在该抛物线上．理由：过点C作CD⊥x轴于点D，连接OC，设AC交OB于点E
∵点B在直线y=2x上，
∴B（5，10）
∵点A、C关于直线y=2x对称，
∴OB⊥AC，CE=AE，BC⊥OC，OC=OA=5，BC=BA=10
又∵AB⊥x轴，由勾股定理得OB=
∵S_Rt△OAB=
∴AE=2，
∵AC=4；
∴∠OBA+∠CAB=90°，∠CAD+∠CAB=90°，∴∠CAD=∠OBA；
又∵∠CDA=∠OAB=90°，∴△CDA∽△OAB
∴==；CD=4，AD=8；C（﹣3，4）
当x=﹣3时，y=×9﹣×（﹣3）=4；
∴点C在抛物线y=x²﹣x上；
（3）抛物线上存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O₁相切；
过点P作PF⊥x轴于点F，连接O₁P，过点O₁作O₁H⊥x轴于点H；

∴C（﹣3，4），B（5，10）
∵O₁是BC的中点，
∴由平行线分线段成比例定理得AH=DH=AD=4，
∴OH=OA﹣AH=1，同理可得O₁H=7，
∴点O₁的坐标为（1，7）
∴BC⊥OC，⊙OC为⊙O₁的切线；
又∵OP为⊙O₁的切线，
|∴OC=OP=O₁C=O1P=5
∴四边形OPO1C为正方形，
∴∠POF=∠OCD
又∵∠PFO=∠ODC=90°，
∴△POF≌△OCD
∴OF=CD，PF=OD，
∴P（4，3）
直线O₁P的解析式为y=x+；
∴点Q的横坐标为或．