Question

如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB=2OA，点A的坐标是（-1，2）。

（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；
（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S_△ABP=S_△ABO。

Answer 1

解：（1）如图，过点A作A⊥x轴，垂足为点F，过点B作BE⊥x 轴，垂足为点E 则AF=2，OF=1， ∵OA⊥OB， ∴∠AOF+∠BOE=90°， 又∵∠BOE+∠OBE=90°， ∴∠AOF=∠OBE， ∴Rt△AFO∽Rt△OEB， ∴， ∴BE=2，OE=4， ∴B（4，2）； （2）设过点A（-1，2），B（4，2），0（0，0）的抛物线为y=ax2+bx， ∴解之，得， ∴所求抛物线的表达式为； （3）由题意，知AB∥x轴， 设抛物线上符合条件的点P到AB的距离为d， 则S△ABP=，∴d=2， ∴点P的纵坐标只能是0或4， 令y=0，得，解之，得x=0，或x=3， ∴符合条件的点P1（0，0），P2（3，0）， 令y=4，得，解之，得， ∴符合条件的点P3， ∴综上，符合题意的点有四个：P1（0，0），P2（3，0），，。