Question

已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E点，直线EF⊥AC于F．求证：EF与⊙O相切．

Answer 1

证明：连接OE，CE，

∵BC为圆O的直径，
∴∠BEC=90°，
∴CE⊥AB，又AC=BC，
∴E为AB的中点，又O为直径BC的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∴∠AFE=∠OEF，
又EF⊥AC，∴∠AFE=90°，
∴∠OEF=90°，
则EF为圆O的切线．
分析：连接OE，CE，由BC为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得∠BEC为直角，利用垂直的定义可得CE垂直于AB，又AC=BC，根据三线合一得到E为AB的中点，又O为直径BC的中点，可得OE为三角形ABC的中位线，根据三角形的中位线平行与第三边可得OE与AC平行，同时由EF与AC垂直，得到∠AFE为直角，根据两直线平行内错角相等可得∠OEF为直角，可得EF为圆的切线，得证．
点评：此题考查了切线的判定，涉及的知识有：等腰三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质，以及切线的判定定理，切线的判定定理是经过直径的外端点，且与直径垂直的直线为圆的切线，熟练掌握此定理是证明的关键．