Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC上的一点，且CE=8，BC=12，CD=4

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，∠C=30°，∠B=60°．点P是线段BC边上一动点（包括B、C两点），设PB的长是x．
（1）当x为何值时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形．
（2）当x为何值时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形．
（3）P在BC上运动时，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否为菱形．

Answer 1

（1）分别过点A、D作BC的垂线，垂足分别为F、G．


∵∠C=30°，且CD=4

3

，
∴DG=2

3

，CG=6，
∴DG=AF=2

3

，
∵∠B=60°，
∴BF=2．
∵BC=12，
∴FG=AD=4，（2分）
显然，当P点与F或点G重合时，
以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形．
所以x=2或x=6；（2分）

（2）∵AD=BE=4，且AD∥BE，
∴当点P与B重合时，
即x=0时．点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，（2分）
又∵当点P在CE中点时，EP=AD=4，且EP∥AD，
∴x=8时，点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；（2分）

（3）由（1）（2）知，∵∠BAF=30°，
∴AB=2BF=4，
∴x=0时，且PA=AD，
即以点P、A、D、E为顶点的四边形为菱形．（1分）
∵AB=BE，且∠B=60°，
∴△ABE为正三角形．
∴AE=AD=4．
即当x=8时，即以点P、A、D、E为顶点的四边形为菱形，
∴当BP=0或8时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是菱形．（1分）