Question

如图，DE是△ABC的中位线，∠B=90°，AF∥BC．在射线AF上是否存在点M，使△MEC与△ADE相似？若存在，请先确定点M，再证明这两个三角形相似；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：存在，过点E作AC的垂线，与AF交于一点，即为M点．
连接MC；
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，AE=EC．
∵ME⊥AC，
∴△AEM≌△CEM．
∴∠MAE=∠MCE．
∵∠B=90°，
∴∠DAM=90°．
∵AF∥BC，
∴AM∥DE．
∴∠MAE=∠AED．
∴∠AED=∠MCE．
∵∠ADE=∠MEC=90°，
∴△MEC∽△ADE．
分析：△ADE中，∠ADE=90°，DE是△ABC的中位线，则DE∥BC；如果过点E作EM⊥AC于M，则△AEM中有两个角与△ADE中的两个角分别对应相等，根据相似三角形的判定，可知两三角形相似．
点评：本题主要考查相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识．综合性较强，难度适中．