Question

如图，已知⊙O₁与⊙O₂都过点A，AO₁是⊙O₂的切线，⊙O₁交O₁O₂于点B，连结AB并延长交⊙O₂于点C，连结O₂C。
（1）求证：O₂C⊥O₁O₂；
（2）证明：AB·BC=2O₂B·BO₁；
（3）如果AB·BC=12，O₂C=4，求AO₁的长。

Answer 1

解：（1）∵AO1是⊙O2的切线， ∴O1A⊥AO2， ∴∠O2AB+∠BAO1=90°， 又O2A=O2C，O1A=O1B， ∴∠O2CB=∠O2AB，∠O2BC=∠ABO1=∠BAO1， ∴∠O2CB+∠O2BC=∠O2AB+∠BAO1=90°， ∴O2C⊥O2B， 即O2C⊥O1O2；
（2）延长O2O1交⊙O1于点D，连结AD， ∵BD是⊙O1直径， ∴∠BAD=90°， 又由（1）可知∠BO2C=90°， ∴∠BAD=∠BO2C， 又∠ABD=∠O2BC， ∴△O2BC∽△ABD， ∴， ∴AB·BC=O2B·BD， 又BD=2BO1， ∴AB·BC=2O2B·BO1。
（3）由（2）证可知∠D=∠C=∠O2AB， 即∠D=∠O2AB， 又∠AO2B=∠DO2A， ∴△AO2B∽△DO2A， ∴， ∴AO22=O2B·O2D， ∵O2C=O2A， ∴O2C2=O2B·O2D， ①又由（2）AB·BC=O2B·BD ②由①-②得，O2C2-AB·BC= O2B2，即 42-12=O2B2， ∴O2B=2， 又O2B·BD=AB·BC=12， ∴BD=6， ∴2AO1=BD=6， ∴AO1=3。