Question

20．观察下列各式，回答提出的问题：
（a-1）（a+1）=a²-1；
（a-1）（a²+a+1）=a³-1
（a-1）（a³+a²+a+1）=a⁴-1
（1）分解因式：a⁴-1=（a-1）（a³+a²+a+1）
（2）分解因式：a⁵-1=（a-1）（a⁴+a³+a²+a+1）
（3）可总结规律为：（a-1）（aⁿ+a^n-1+a^n-2+…+a+1）=aⁿ⁺¹-1（其中n为正整数）
（4）计算（2³⁰+2²⁹+2²⁸+…+2+1）的值是多少？

Answer 1

分析 （1）（2）（3）类比给出的方法直接得出答案即可；
（4）把式子乘（2-1）类比上面的计算方法得出答案即可．

解答 解：（1）a⁴-1=（a-1）（a³+a²+a+1）；
（2）a⁵-1=（a-1）（a⁴+a³+a²+a+1）；
（3）（a-1）（aⁿ+a^n-1+a^n-2+…+a+1）=aⁿ⁺¹-1（其中n为正整数）
（4）（2-1）（2³⁰+2²⁹+2²⁸+…+2+1）
=2³¹-1．

点评 此题考查因式分解的实际运用，从简单到复杂，从特殊到一般，类比得出因式分解与计算的方法是解决问题的关键．