Question

在△ABC中，AB=AC，周长为20cm，D是AC上一点，△ABD与△BCD面积相等且周长差为3cm，求△ABC各边的长．

Answer 1

解：本题分两种情况：
（1）当△ABC为锐角三角形时，
过P点作BE⊥AC，
∵S_△ABD=S_△ABD=AD•BE=CD•BE，
∴CD=AD，
又∵△ABD与△BCD周长差为3cm，
∴（AB+BD+AD）-（BD+BC+CD）=3cm，
∴AB-BC=3cm…①，
又△ABC的周长为20cm，且AB=AC，
∴2AB+BC=20cm…②，
由①②可得：
AB=AC=cm，BC=cm；

（2）当△ABC为钝角三角形时，
同上可知BC-AB=3cm…③，
2AB+BC=20cm…④，
由③④可得：BC=cm，AB=AC=cm．
由（1）（2）可知：
△ABC三边长分别为cm，cm，cm或cm，cm，cm．
分析：由于△ABD与△BCD面积相等，根据等高的三角形的面积比等于底边比，可得AD=DC；然后再根据题中的已知条件△ABC的周长为20cm，△ABD与△BCD面积相等且周长差为3cm，可求出结果．
点评：本题主要考查了等腰三角形的性质，等高的三角形的面积比等于底边的比，三角形的周长公式．分类讨论及辅助线的作出是正确解答本题的关键．