Question

如图，AB为⊙O的直径，C为中点，CD⊥BE于D．
（1）判断DC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若DC=3，⊙O半径为5，求DE长．

Answer 1

解：（1）DC与⊙O相切．理由如下：
连结AE、OC，它们相交于F点，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵CD⊥BE，
∴∠D=90°，
∴CD∥AE，
又∵C为中点，
∴OC⊥AE，AF=EF，
∴OC⊥CD，
∴CD为⊙O的切线；

（2）∵∠D=∠DCF=∠CFE=90°，
∴四边形CFED为矩形，
∴EF=CD=3，DE=DF，
∴AF=3，
在Rt△OFA中，OA=5，
∴OF==4，
∴CF=OC-OF=5-4=1，
∴DE=1．
分析：（1）连结AE、OC，它们相交于F点，根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得到∠AEB=90°，而CD⊥BE，则CD∥AE，由于C为中点，根据垂径定理的推论得到OC⊥AE，AF=EF，所以OC⊥CD，于是根据切线的判定定理得到CD为⊙O的切线；
（2）易得EF=CD=3，DE=DF，则AF=3，再根据勾股定理计算出OF，然后计算出CF，从而可得到DE的长．
点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、勾股定理以及垂径定理的推论．