Question

如图，某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕．他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据可绘制的函数图象，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图甲所示，销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图乙所示．

（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）分别求出第10天和第15天的销售金额；
（3）若日销售量不低于24千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售单价最高为多少元？

Answer 1

解：（1）分两种情况：
①当0≤x≤15时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k₁x，
∵直线y=k₁x过点（15，30），
∴15k₁=30，解得k₁=2，
∴y=2x（0≤x≤15）；
②当15＜x≤20时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k₂x+b，
∵点（15，30），（20，0）在y=k₂x+b的图象上，
∴，解得：，
∴y=-6x+120（15＜x≤20）；
综上，可知y与x之间的函数关系式为：
y=；

（2）∵第10天和第15天在第10天和第20天之间，
∴当10≤x≤20时，设销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数解析式为p=mx+n，
∵点（10，10），（20，8）在z=mx+n的图象上，
∴，解得：，
∴p=-x+12（10≤x≤20），
当x=10时，p=10，y=2×10=20，销售金额为：10×20=200（元），
当x=15时，p=-×15+12=9，y=30，销售金额为：9×30=270（元）．
故第10天和第15天的销售金额分别为200元，270元；

（3）若日销售量不低于24千克，则y≥24．
当0≤x≤15时，y=2x，
解不等式2x≥24，得x≥12；
当15＜x≤20时，y=-6x+120，
解不等式-6x+120≥24，得x≤16，
∴12≤x≤16，
∴“最佳销售期”共有：16-12+1=5（天）；
∵p=-x+12（10≤x≤20），-＜0，
∴p随x的增大而减小，
∴当12≤x≤16时，x取12时，p有最大值，此时p=-×12+12=9.6（元/千克）．
故此次销售过程中“最佳销售期”共有5天，在此期间销售单价最高为9.6元．
分析：（1）分两种情况进行讨论：①0≤x≤15；②15＜x≤20，针对每一种情况，都可以先设出函数的解析式，再将已知点的坐标代入，利用待定系数法求解；
（2）日销售金额=日销售单价×日销售量．由于第10天和第15天在第10天和第20天之间，当10≤x≤20时，设销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系式为p=mx+n，由点（10，10），（20，8）在p=mx+n的图象上，利用待定系数法求得p与x的函数解析式，继而求得10天与第15天的销售金额；
（3）日销售量不低于24千克，即y≥24．先解不等式2x≥24，得x≥12，再解不等式-6x+120≥24，得x≤16，则求出“最佳销售期”共有5天；然后根据p=-x+12（10≤x≤20），利用一次函数的性质，即可求出在此期间销售时单价的最高值．
点评：此题考查了一次函数的应用，有一定难度．解题的关键是理解题意，利用待定系数法求得函数解析式，注意数形结合思想与函数思想的应用．