Question

已知关于x的方程x²+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程（k-1）x²+3x-2a=0有实数根，又k为正整数，求代数式的值．

Answer 1

解：设方程x²+3x+a=0①的两个根为x₁、x₂，则
由条件知=3
即且，故a=-1．
则方程（k-1）x²+3x-2a=0②为（k-1）x²+3x+2=0
当k-1=0即k=1时，=0；
当k-1≠0时，△=9-8（k-1）=17-8k≥0，∴．
又∵k是正数，且k-1≠0，∴k=2，但使无意义．
综上，代数式的值为0．
分析：由于关于x的方程x²+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a的方程求出a，又由于关于x的方程（k-1）x²+3x-2a=0有实数根，又k为正整数，利用判别式可以求出k，最后代入所求代数式计算即可求解．
点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求a的值与方程判别式的关系．