Question

已知∠MAN，AC平分∠MAN。

（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；
（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在图3中，
①若∠MAN=60°，∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD=______AC；
②若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD=______AC（用含α 的三角函数表示），并给出证明。

Answer 1

解：（1）证明：∵AC平分∠MAN，∠MAN=120°， ∴∠CAB=∠CAD=60°， ∵∠ABC=∠ADC=90°， ∴∠ACB=∠ACD=30°， ∴AB=AD=AC， ∴AB+AD=AC。
（2）成立； 证明：如图，过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F， ∵AC平分∠MAN， ∴CE=CF， ∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°， ∴∠CDE=∠ABC， ∵∠CED=∠CFB=90°， ∴△CED≌△CFB，∴ED=FB， ∴AB+AD=AF+BF+AE-ED=AF+AE， 由（1）知AF+AE=AC， ∴AB+AD=AC。
（3）①； ②， 由（2）知，ED=BF，AE=AF， 在Rt△AFC中，，即， ∴， ∴AB+AD=AF+BF+AE-ED=AF+AE=2AF=AC。