Question

如图，抛物线与交于点A（1，3）过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C，则以下结论：
①无论x取何值，y₂的值总是正数；②a=；③当x=0时，y₂-y₁=4；④2AB=3AC；
其中，结论正确的是________（填写序号即可）

Answer 1

①②④
分析：根据与y₂=（x-3）²+1的图象在x轴上方即可得出y₂的取值范围；把A（1，3）代入抛物线y₁=a（x+2）²-3即可得出a的值；由抛物线与y轴的交点求出，y₂-y₁的值；根据两函数的解析式求出A、B、C的坐标，计算出AB与AC的长，即可得到AB与AC的关系．
解答：①∵抛物线y₂=（x-3）²+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，
∴无论x取何值，y₂的值总是正数，故本选项正确；
②把A（1，3）代入，抛物线y₁=a（x+2）²-3得，3=a（1+2）²-3，
解得a=，故本选项正确；
③由两函数图象可知，抛物线y₁=a（x+2）²-3
解析式为y₁=（x+2）²-3，
当x=0时，y₁=（0+2）²-3=-，y₂=（0-3）²+1=，
故y₂-y₁=--=-，故本选项错误；
④∵物线y₁=a（x+2）²-3与y₂=（x-3）²+1交于点A（1，3），
∴y₁的对称轴为x=-2，y₂的对称轴为x=3，
∴B（-5，3），C（5，3）
∴AB=6，AC=4，
∴2AB=3AC，故本选项题正确．
故答案为①②④．
点评：本题考查的是二次函数的性质，根据题意利用数形结合进行解答是解答此题的关键，同时要熟悉二次函数图象上点的坐标特征．